Lời giải:
** Sửa đề:
$A=\frac{1}{2}(1+2)+\frac{1}{3}(1+2+3)+\frac{1}{4}(1+2+3+4)+....+\frac{1}{2013}(1+2+3+...+2013)$
$A=\frac{1}{2}.\frac{2.3}{2}+\frac{1}{3}.\frac{3.4}{2}+\frac{1}{4}.\frac{4.5}{2}+....+\frac{1}{2013}.\frac{2013.2014}{2}$
$=\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+\frac{5}{2}+....+\frac{2014}{2}$
$=\frac{3+4+5+...+2014}{2}$
$=\frac{1+2+3+4+5+...+2014}{2}-\frac{3}{2}$
$=\frac{2014.2015:2}{2}-\frac{3}{2}$
$=1014551$