Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.
Ta có: \(IH\perp BC\) (tính chất tiếp tuyến)
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC
Tam giác ABC đều nên AI cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó A, I, H thẳng hàng
Ta có: HB = HC ( tính chất tam giác đều )
Tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: AH = 3 . HI = 3.r
\(\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60^o=30^o\)
Tam giác ABH vuông tại H , nên ta có :
\(BC=AH.tg\)\(\widehat{HAB}=3r.tg30^o=3r.\frac{\sqrt{3}}{3}=r\sqrt{3}\)
Mà \(BC=2.BH=2r\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.3r.2r\sqrt{3}=3r^2\sqrt{3}\left(đvdt\right)\)
