a) \(S_1=1+2+...+n\)
\(=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)
b) \(S_2=1^2+2^2+...+n^2\)
Ta co :
\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)
\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)
..................................................................................
\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)
Cộng từng vế n hằng đẳng thức trên ta được :
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3.\left(1+2+...+n\right)+n\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3.S_2+3.S_1+n\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)^3-3S_1-\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\frac{3n}{2}-1\right]\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1-\frac{3n}{2}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)n\left(n+\frac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+\left(n^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\text{}\right)\)
\(\Leftrightarrow S_2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\text{}\right)\)
Bỏ 3 dòng từ 2 dòng cuối trở lên nhé
Tức là ko bỏ 2 dòng cuối mà bỏ 3 dòng trên 2 dòng cuối hộ
Lê Tài Bảo Châu (toán học):Cach ban kha la dai dong nhi.
b
\(S_2=1^2+2^2+3^2+....+n^2\)
\(S=1\left(0+1\right)+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+....+n\left[\left(n-1\right)+1\right]\)
\(S=\left(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot5+....+\left(n-1\right)n\right)+\left(1+2+3+...+n\right)\)
Dat \(A=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+\left(n-1\right)n\)
\(3A=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+3\cdot4\cdot3+...+\left(n-1\right)n\cdot3\)
\(3A=1\cdot2\cdot\left(3-0\right)+2\cdot3\cdot\left(4-1\right)+3\cdot4\cdot\left(5-2\right)+....+\left(n-1\right)n\left[\left(n+1\right)-\left(n-2\right)\right]\)
\(3A=1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2+2\cdot3\cdot1-1\cdot2\cdot3+....+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)
\(3A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
\(A=\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\)
\(S_2=\frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{3}\)
\(S_2=\frac{n\left(n+1\right)}{3}\left(\frac{n-1}{3}-\frac{1}{3}\right)\)
\(S_2=\frac{n\left(n+1\right)\left(n-2\right)}{9}\)
P/S:Sao lai khac nhau vay nhi.Sai thi ib nha,de con bt de sua:3
b) Đây là cách mình vẫn hay làm, nhưng dài dòng lắm, thường chỉ áp dụng cho số mũ từ bậc 3 trở lên (mặc dù mình thích cách bạn Châu hơn nhưng tại bạn ý làm cách mình định làm òi nên cho cách này cho nó có nhiều cách:v)
Hướng giải: Ta tìm đa thức bậc 3 f(x) sao cho \(f\left(x+1\right)-f\left(x\right)=x^2\) (bạn có thể sửa x thành n nhé, mình ko bt dùng cái nào cho cho chính xác nhất:v)
Khi đó \(S_2=f\left(n+1\right)-f\left(n\right)+....+f\left(4\right)-f\left(3\right)+f\left(3\right)-f\left(2\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)\)
\(=f\left(n+1\right)-f\left(1\right)\). Ta tìm được f(x) = \(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x\) (cần thì mình sẽ làm rõ công đoạn tìm)
Bây giờ ta làm thôi!
Bài làm:
Xét đa thức f(x) = \(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x\) (đi thi mà ghi thế này thì chắc bị trừ điểm đấy:)
Ta có \(f\left(x+1\right)-f\left(x\right)=x^2\). Do đó \(S_2=f\left(n+1\right)-f\left(n\right)+....+f\left(4\right)-f\left(3\right)+f\left(3\right)-f\left(2\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)\)
\(=f\left(n+1\right)-f\left(1\right)\) = \(\frac{1}{3}\left(n+1\right)^2-\frac{1}{2}\left(n+1\right)+\frac{1}{6}\left(n+1\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\)
= \(\frac{1}{3}\left(n+1\right)^2-\frac{1}{2}\left(n+1\right)+\frac{1}{6}\left(n+1\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (rút gọn lại)
Vậy...
