Question

Tìm x;y;z là các số nguyên không âm thỏa mãn

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=6xyz\)và \(\left(x^3+y^3+z^3+1\right)⋮\left(x+y+z+1\right)\)

(Trích trong đề thi HSG ở trường mình, mình chưa làm được)

Các bạn giúp mình với.

Answer 1

Bài này chỉ vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử thôi

Có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=6xyz\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=6xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=3xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=3xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=3xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3=3xyz\left(x+y+z+1\right)\)

Do đó: \(x^3+y^3+z^3+1=3xyz\left(x+y+z+1\right)+1⋮x+y+z+1\)

Suy ra: \(1⋮x+y+z+1\)

 \(\Rightarrow x+y+z+1=1\)( do \(x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z+1\ge1\))

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

Vậy \(x=y=z=0\)