\(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}}}\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{5+\sqrt{13+x}}\) (\(x\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2=5+\sqrt{13+x}\)
\(\Leftrightarrow x^2-9=\sqrt{13+x}-4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right).\left(x+3\right)=\dfrac{x-3}{\sqrt{13+x}+4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x+3=\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\left(∗\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (*) ta có VT \(\ge3\) (1)
mà \(VP=\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\le\dfrac{1}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) dễ thấy (*) vô nghiệm
Hay x = 3