Lời giải:
Đặt $2^x=t(t>0)$ thì PT trở thành:
$t^2+2=mt(x-x^2)$
$\Leftrightarrow mtx^2-mtx+t^2+2=0$
Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$. Dễ thấy $m=0$ không thỏa mãn nên $m\neq 0$
Để PT có nghiệm $x$ duy nhất thì $\Delta=0$
$\Leftrightarrow (-mt)^2-4mt(t^2+2)=0$
$\Leftrightarrow mt-4(t^2+2)=0$ (do $mt\neq 0$)
$\Leftrightarrow m=\frac{4(t^2+2)}{t}>0$
Mặt khác, PT ban đầu:
\(\Leftrightarrow 2^x+\frac{2}{2^x}=m(x-x^2) \) (hay $f(x)=g(x)$)
Đạo hàm và lập bảng biến thiên (để thấy được dạng đồ thị của hàm số), ta thấy:
$f(x)=2^x+\frac{2}{x}$ có duy nhất 1 điểm cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, 2\sqrt{2})$
$g(x)=m(x-x^2)$ với $m>0$ có duy nhất 1 điểm cực đại $(\frac{1}{2}, \frac{m}{4})$
Để $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất thì $\frac{m}{4}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=8\sqrt{2}$
