Question

tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2⁸  + 2¹¹ + 2ⁿ là số chính phương

Answer 1

Giả sử : 2⁸ + 2¹¹  + 2ⁿ = a² với a \(\in\) N thì :

              2ⁿ  = a² - 48 \(\Leftrightarrow\) 2ⁿ  = ( a - 48 ) ( a + 48 )

Từ đó , ta có : a + 48 = 2^p 

                       a - 48 = 2^q  , với ^p , ^q \(\in\) N và p + q = n , p > q

       suy ra : 2^p - 2^q = 96 \(\Leftrightarrow\) 2^q( 2^{q - p} - 1 ) = 2⁵  . 3

          \(\Rightarrow\) q = 5 và p - q = 2 \(\Rightarrow\) p = 7 \(\Rightarrow\) n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có : 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²                 

   Do đó , n = 12

HOK TỐT !!!

               

             

                     

Answer 2

Gọi biểu thữ trên là A

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8)

= (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴)

=  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương

<=> 2^n-8=2⁴

=> n-8=4

=> n=12