Question

Tìm tất cả các số tự nhiên n để p=1+2+2²+...+2^2n-1 là số nguyên tố

 

Answer 1

\(p=1+2+2^2+\cdots+2^{2n-1}\)

=>\(2p=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2n}\)

=>\(2p-p=2+2^2+2^3+\cdots+2^{2n}-1-2-2^2-\cdots-2^{2n-1}\)

=>\(p=2^{2n}-1=4^{n}-1\)

TH1: n=0

=>\(p=4^0-1=1-1=0\) (loại)

TH2: n=1

\(p=4^1-1=4-1=3\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH3: n>1

=>\(p=4^{n}-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+\cdots+1\right)\)

=>p là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1

=>p là hợp số

=>Loại

Vậy: n=1