Question

Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho : p+q=(p-q)^3

Answer 1

p=5,q=3

Answer 2

ghi cả cách làm đi Phương

Answer 3

 p−q+2q=(p−q)3→2q=(p−q)((p−q)2−1)=(p−q)(p−q−1)(p−q+1)
Th1: p−qchia hết cho 2 suy ra p−q=2k
Suy ra q=k.(2k−1)(2k+1)
Do vậy k=1 vì nếu không thì qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 suy ra vô lý vì nó là nguyên tố.
Suy ra p−q=2Như vậy q=3,p=5Thỏa mãn
TH2: p−q−1 chia hết cho 2 suy ra p−q−1=2tnên q=(2t+1)t(2t+2)
Do vậy t=0 vì nếu không thì qq thành tích 2 số nguyên lớn hơn 1.
Suy ra p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2 thay vào đề loại.
TH3: p−q+1=2m suy ra q=(2m−1)(2m−2)m
Nếu m≥2 suy ra qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 loại
Suy ra m=0,1 thay vào đều loại.
Vậy p=5,q=3