Question

tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9^n+11 là tích của k số tự nhiên liên tiếp

Answer 1

ta có tích từ 3 stn liên tiếp trở lên thì chia hết cho 3

theo đề bài 9ⁿ+11 là tích k số tự nhiên liên tiếp mà 9ⁿ+11 không chia hết cho 3 nên k=2

đặt 9ⁿ+11=a(a+1) với a là số nguyên dương

9ⁿ+11=a(a+1) <=> 4.9ⁿ+45=4a²+4a+1

<=> (2a+1)²-(2.3ⁿ)²=45 <=> (2a+1-2.3ⁿ)(2a+1+2.3ⁿ)=45

vì a,n nguyên dương và 2a+1+2.3ⁿ >=9 nên xảy ra các trường hợp sau

th1: \(\hept{\begin{cases}2a+1+2\cdot3^n=9\left(1\right)\\2+1+2\cdot3^n=5\left(2\right)\end{cases}}\)

từ (1) và (2) ta có 4a+2=14 <=> a=3 => 9ⁿ+11=12 <=> 9ⁿ=1 <=> n=0 (loại)

th2: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=15\left(3\right)\\2a+1+2\cdot3^n=3\left(4\right)\end{cases}}\)

từ (3) và (4) ta có 4a+2=18 <=> a=4 => 9ⁿ+11=20 <= 9ⁿ=9 <=> n=1 (tm)

th3: \(\hept{\begin{cases}2a+1-2\cdot3^n=45\left(5\right)\\2a+1+2\cdot3^n=1\left(6\right)\end{cases}}\)

từ (5) và (6) ta có 4a+2=46 <=> a=11 => 9ⁿ+11=132 <=> 9ⁿ=121 => không tồn tại n

vậy n=1

Answer 2

Vì \(9^n+11⋮̸3\)nên k<3 => k=2 (k>1) (với n thuộc N*)

Ta có: \(9^n-1⋮\left(9-1\right)\Leftrightarrow9^n-1⋮8\Leftrightarrow9^n-1⋮4\Leftrightarrow9^n+11⋮4\)

Mà \(9^n+11\)là tích của hai STN liên tiếp nên 1 trong 2 số bằng 4, số còn lại là 5 (vì 9^n+11 không chia hết cho 3)

Từ đó, ta có 9^n+11=4*5=20 => 9^n=9 => n=1 

Answer 3

à, bài t sai r nhé