Question

Tìm tất cả các số nguyên dương n để \(1+n^{2017}+n^{2018}\) là số nguyên tố

Answer 1

Đặt A=1+n²⁰¹⁷+n²⁰¹⁸ 

*Nếu: n=1 => A= 1 + 1²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁸ = 3 (t/m)

Do đó: A là số nguyên tố

*Nếu: n>1

1+n²⁰¹⁷+n²⁰¹⁸

 =(n²⁰¹⁸-n²)+(n²⁰¹⁷-n)+(n²+n+1)

=n².(n²⁰¹⁶-1)+n.(n²⁰¹⁶-1)+(n²+n).(n²⁰¹⁶-1)+(n²+n+1)

Vì: n²⁰¹⁶ chia hết cho n³

=> n²⁰¹⁶-1 chia hết cho n³-1

=> n²⁰¹⁶-1  chia hết cho (n²+n+1) 

Mà: 1<n²+n+1<A=> A là số nguyên tố  (k/tm đk đề bài số nguyên dương)

Vậy n=1