Question

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ sốhàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Answer 1

Gọi \(\overline{abcd}\) là số phải tìm

\(\left(a,b,c,d\in N,0\le a,b,c,d\le9,a\ne0\right)\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\overline{abcd}=k^2\\\overline{\left(a+1\right)\left(b+3\right)\left(c+5\right)\left(d+3\right)}=m^2\end{matrix}\right.\) với k , m \(\in N,31< k< m< 100\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overline{abcd}=k^2\\\overline{abcd}+1353=m^2\end{matrix}\right.\)

Do đó : \(m^2-k^2=1353\)

\(\Rightarrow\left(m+k\right)\left(m-k\right)=123.11=41.33\) ( k + m < 200 )

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m+k=123\\m-k=11\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m+k=41\\m-k=33\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m=67\\k=56\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m=37\\k=4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\overline{abcd}=3136\)

Answer 2

Gọi số cần tìm là a²

Chữ số hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị là x, y, z, t a²=1000x+100y+10z+t

=> Số mới b² có dạng 1000(x+1) + 100(y+3) + 10(z+5) + t+3 = 1000x+ 1000 +100y+300+10z+50 +3

=(1000x+100y+10z+t)+1353=a²+1353

=>b²-a²=1353=3.11.41 (1)

Vì b>a >0 nên b-a<a+b

(1) <=> (b-a)(b+a)=3.11.41

Sau đó xét các cặp số sao b-a < a+b.