Question

tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn,thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm,thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục,thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị,ta vẫn được một số chính phương

Answer 1

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}=m^2\) (1)

Theo đề bài ta có: \(\overline{\left(a+1\right)\left(b+3\right)\left(c+5\right)\left(d+3\right)}=n^2\)

\(\Leftrightarrow1000\left(a+1\right)+100\left(b+3\right)+10\left(c+5\right)+\left(d+3\right)=n^2\)

\(\Leftrightarrow1000a+1000+100b+300+10c+50+d+3=n^2\)

\(\Leftrightarrow\overline{abcd}+1353=n^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+1353=n^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-n^2=1353\)

Phân tích 1353 ra thừa số, ta được: 3x11x41

Do đó ta có các cặp (33,41); (3,451); (11;123)

Thay vào (1), ta được:

+) \(\overline{abcd}=m^2=33^2=1089\)

\(\Rightarrow\overline{\left(a+1\right)\left(b+3\right)\left(c+5\right)\left(d+3\right)}=n^2=1089+1353=2442\)(t/m)

+) \(\overline{abcd}=m^2=3^2=9\) (vô lý, loại)

+) \(\overline{abcd}=m^2=11^2=121\) (vô lý, loại)

Vậy số cần tìm là 1089