Question

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn \(x\left(1+x+x^2\right)=4y\left(y-1\right)\)

Answer 1

Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).

Xét \(x\ne0\). Khi đó  \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.

(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).

Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).

Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4

(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)

Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.

Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).

Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).

Trường hợp 2 ngược lại.

Tới đây bạn tự giải được nha.

Answer 2

\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)

đến đây tự làm tiếp nhé

Answer 3

Có:                                                       (1)

Vì , nên từ  và  chẵn.

Giả sử   lẻ và

Vì  là số chính phương,  nên và cũng là hai số chính phương.

Do

Khi , có . Vậy có hai cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: