\(\left\{{}\begin{matrix}ab=c+d\\a+b=cd\end{matrix}\right.\Rightarrow ab-\left(a+b\right)=c+d-cd\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=-\left(c-1\right)\left(d-1\right)+2\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(c-1\right)\left(d-1\right)=2\)
Do \(\left(a,b,c,d\right)\in\left(Z^+\right)^4\) nên \(a,b,c,d\ge1\).
*Xét \(a,b,c,d>1\). Khi đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(c-1\right)\left(d-1\right)\ge2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=2\).
Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,2,2,2\right)\).
*Xét một trong bốn số a,b,c,d bằng 1. Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=1\). Khi đó \(\left(c-1\right)\left(d-1\right)=2\Rightarrow\left(c,d\right)=\left(2,3\right);\left(3,2\right)\).
Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(1,k,2,3\right);\left(1,k,3,2\right);\left(k,1,2,3\right)\left(k,1,3,2\right);\left(2,3,k,1\right);\left(3,2,k,1\right);\left(2,3,1,k\right);\left(3,2,k,1\right)\), với k là số nguyên dương tuỳ ý.
