Question

tìm tất cả cá số nguyên tố p sao cho p^2 + 2^p là số nguyên tố

Answer 1

nếu p chẵn \(\Rightarrow\) p = 2 \(\Rightarrow\) p² + 2^p = 2² + 2² = 8 \(\notin\) P

nếu p lẻ :

+ p \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) p = 3 \(\Rightarrow\) p² + 2^p = 17 là stn ( thỏa mãn )

+ p \(⋮̸\)3 , đặt p = 3k \(\pm\) 1

p² = ( 3k \(\pm\) 1 )² = 9k² \(\pm\) 6k + 1 = 3 ( 3k² \(\pm\) 2k ) + 1 : 3 dư 1

còn 2^p \(\equiv\) ( - 1 )^p \(\equiv\) - 1 ( mod 3 ) do p lẻ

do đó p² + 2^p \(\equiv\) 1 + ( - 1 ) \(\equiv\) 0 ( mod 3 )

mà p² + 2^p > 3 nên không thể la stn ( không thỏa mãn )

vậy p = 3 là kết quả duy nhất thỏa mãn