Question

tìm số tự  nhiên n để các số sau là số chính phương

a) n^2 +105                          b)n^2 +2006

Answer 1

a) Gọi số chính phương là tổng của n² + 105 là a² \(\left(a\inℕ^∗\right)\)

Để n² + 105 = a²

=> a² - n² = 105 (a > n vì a² - n² > 0 với \(a;n\inℕ^∗\))

=> (a² + a.n) - (n.a + n²) = 105

=> a(a + n) - n(a + n) = 105

=> (a + n)(a - n) = 105

Với \(a;n\inℕ^∗;a>n\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+n\inℕ^∗\\a-n\inℕ^∗\end{cases};\left(a+n>a-n\right)}\)

Khi đó có 105 = 21 x 5 = 7 x 15 = 3 x 35 = 1.105

Lập bảng xét 3 trường hợp 

a + n	105	15	35	21
a - n	1	7	3	5
n	52(tm)	4(tm)	16(tm)	8(tm)

Vậy \(n\in\left\{52;4;16;8\right\}\)

b) Gọi số chính phương là tổng của n² + 2006 là a² \(\left(a\inℕ^∗\right)\)

Để n² + 105 = a²

=> a² - n² = 2006 (a > n vì a² - n² > 0 với \(a;n\inℕ^∗\))

=> (a² + a.n) - (a.n + n²) = 2006

=> a(a + n) - n(a + n) = 2006

=> (a + n)(a - n) = 2006

Với \(a;n\inℕ^∗;a>n\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+n\inℕ^∗\\a-n\inℕ^∗\end{cases};\left(a+n>a-n\right)}\)

Khi đó có : 2006 = 1003 x 2 = 2006.1 = 118.17 = 59.34 

Lập bảng xét 4 trường hợp : 

a + n	1003	2006	59	118
a - n	2	1	34	17
n	500,5(loại)	1002,5(loại)	12,5(loại)	50,5(Loại)

Vậy \(n\in\varnothing\)