Lời giải:
Nếu $m=0, n=0$ thì $4^m+2^n+3=5$ không phải scp (loại)
------------------------
Nếu $m>0; n=0$ thì $4^m+2^n=4^m+4$. Đặt $4^m+4=a^2$ với $a$ là stn
Khi đó:
$4=a^2-4^m=(a-2^m)(a+2^m)$
Do $a+2^m, a-2^m$ có cùng tính chẵn lẻ và $a+2^m>0$ với $a,m$ là stn.
$\Rightarrow a+2^m=2; a-2^m=2$
$\Rightarrow 2^m=0$ (vô lý - loại)
----------------------------
Nếu $m=0, n>0$ thì: $4^m+2^n+3=2^n+4$
Đặt $2^n+4=a^2$ với $a$ là stn
$\Rightarrow 2^n=a^2-4=(a-2)(a+2)$
$\Rightarrow a-2=2^x, a+2=2^y$ với $x,y$ là stn và $x+y=n,y> x$
$\Rightarrow 4=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}+1)$
$\Rightarrow 2^{2-x}=2^{y-x}+1$
Do $y>x$ nên $2^{2-x}=2^{y-x}+1$ là stn
$\Rightarrow 2-x\geq 0\Rightarrow x\leq 2$
$\Rightarrow x=0;1;2$. Thử lại thấy $x=2; a=6; n=5$
-----------------------------
Nếu $m>0, n>0$:
Xét TH $n\geq 2$ thì $4^m\vdots 4; 2^n\vdots 4$
$\Rightarrow 4^m+2^n+3$ chia 4 dư 3
$\Rightarrow 4^m+2^n+3$ không là scp (loại)
$\Rightarrow n<2$
$\Rightarrow n=1$
Khi đó: $4^m+2^n+3=4^m+5$
Đặt $4^m+5=a^2$ với $a$ là stn
$5=a^2-4^m=(a-2^m)(a+2^m)$
$\Rightarrow a+2^m=5; a-2^m=1$
$\Rightarrow m=1$
Vậy $(m,n)=(1,1); (0,5)$
