Để \(\sqrt{n^2+n+3}\) có giá trị là một số nguyên thì
\(n^2+n+3\) là một số chính phương
Đặt: \(n^2+n+3=k^2\)
\(\Leftrightarrow4n^2+4n+12=4k^2\\ \Leftrightarrow\left(4n^2+4n+1\right)-4k^2=-11\\ \Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-11\\ \Leftrightarrow\left(2n+2k+1\right)\left(2n-2k+1\right)=-11\)
Mà: n và k đều các số nguyên
=> 2n + 2k + 1 > 2n - 2k + 1
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+2k+1=11\\2n-2k+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=2\\k=3\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2n+2k+1=1\\2n-2k+1=-11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-3\\k=3\end{matrix}\right.\) (ktm)
Vậy: n = 2
