Question

Tìm nghiệm nguyên: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 3y³ = 2023

Answer 1

\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+3y^3=2023\)  (*)

Đặt \(x^2+8x+11=t\left(t\inℤ;t\ge-5\right)\), pt (*) trở thành \(\left(t-4\right)\left(t+4\right)+3y^3=2023\) 

\(\Leftrightarrow t^2-16+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow t^2+3y^3=2039\)        (1)

Xét pt (1), dễ thấy \(t^2\equiv0\left(mod3\right)\) hoặc \(t^2\equiv1\left(mod3\right)\), lại có \(3y^3\equiv0\left(mod3\right)\) nên \(VT\equiv0\left(mod3\right)\) hoặc \(VT\equiv1\left(mod3\right)\). Nhưng \(VP=2039\equiv2\left(mod3\right)\), điều này có nghĩa là (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho không thể có nghiệm nguyên.

 

 

Answer 2

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+3y3=2023

⇔[(�+1)(�+7)][(�+3)(�+5)]+3�3=2023⇔[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+3y3=2023

⇔(�2+8�+7)(�2+8�+15)+3�3=2023⇔(x2+8x+7)(x2+8x+15)+3y3=2023  (*)

Đặt �2+8�+11=�(�∈Z;�≥−5)x2+8x+11=t(t∈Z;t≥−5), pt (*) trở thành (�−4)(�+4)+3�3=2023(t−4)(t+4)+3y3=2023 

⇔�2−16+3�3=2023⇔t2−16+3y3=2023

⇔�2+3�3=2039⇔t2+3y3=2039        (1)

Xét pt (1), dễ thấy �2≡0(���3)t2≡0(mod3) hoặc �2≡1(���3)t2≡1(mod3), lại có 3�3≡0(���3)3y3≡0(mod3) nên $VT\equiv 0\left(mod3\right)$ hoặc $VT\equiv 1\left(mod3\right)$. Nhưng 

Đúng 0

Bình luận (0)

Answer 3

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+3y3=2023

⇔[(�+1)(�+7)][(�+3)(�+5)]+3�3=2023⇔[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+3y3=2023

⇔(�2+8�+7)(�2+8�+15)+3�3=2023⇔(x2+8x+7)(x2+8x+15)+3y3=2023  (*)

Đặt �2+8�+11=�(�∈Z;�≥−5)x2+8x+11=t(t∈Z;t≥−5), pt (*) trở thành (�−4)(�+4)+3�3=2023(t−4)(t+4)+3y3=2023 

⇔�2−16+3�3=2023⇔t2−16+3y3=2023

⇔�2+3�3=2039⇔t2+3y3=2039        (1)

Xét pt (1), dễ thấy �2≡0(���3)t2≡0(mod3) hoặc �2≡1(���3)t2≡1(mod3), lại có 3�3≡0(���3)3y3≡0(mod3) nên $VT\equiv 0\left(mod3\right)$ hoặc $VT\equiv 1\left(mod3\right)$. Nhưng 

Đúng 0

Bình luận (0)