Ta có: \(2x^2+3y^2+4x=19\)
\(\Leftrightarrow\) \(2x^2+4x=19-3y^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2x^2+4x+2=21-3y^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x+1\right)^2=3\left(7-y^2\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Vì \(2\left(x+1\right)^2\) chia hết cho \(2\) nên \(3\left(7-y^2\right)\) chia hết cho \(2\), hay \(7-y^2\) chia hết cho \(2\) , hay \(y^2\) lẻ \(\left(1\right)\)
Lại có: \(7-y^2\ge0\) (do \(\left(x+1\right)^2\ge0\)) nên \(y^2\le7\) (với \(y\in Z\) ), tức là \(y^2\in\left\{1;4\right\}\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) , suy ra \(y^2=1\) \(\Rightarrow\) \(y\in\left\{-1;1\right\}\)
Khi đó, phương trình \(\left(\text{*}\right)\) sẽ có dạng \(2\left(x+1\right)^2=18\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+1\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x+1=3}_{x+1=-3}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2}_{x=-4}\)
Vậy, các cặp nghiệm nguyên phải tìm: \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right),\left(2;-1\right),\left(-4;1\right),\left(-4;-1\right)\right\}\) (thỏa mãn \(x,y\in Z\) )
<=> 2x^2+3y^2+4x -19 =0
<=> 2.(x2 + 2x +1) + 3.y2 = 21
<=> 2.(x+1)2 + 3. y2 = 21
Vì 3y2; 21 đều chia hết cho 3 nên 2.(x +1)2 chia hết cho 3 . hơn nữa 2. (x +1)2 $\le$≤ 21 và (x+1)2 là số chính phương
=> (x+1)2 =0 hoặc 9
+) x + 1 = 0 => x = -1 => y 2 = 7 => loại
+) (x+1)2 = 9 => y2 = 1
=> x+ 1 = 3 hoặc x+ 1=- 3 => x = 2 hoặc x = -4
y2 = 1 => y = 1 hoặc y = -1
Vậy....
