\(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)
\(\Leftrightarrow A+4=\left(\frac{a-d}{d+b}+1\right)+\left(\frac{d-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c-a}{a+d}+1\right)\)
\(=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)\)
\(\ge\left(a+b\right).\frac{4}{a+b+c+d}+\left(c+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{4}{a+b+c+d}.\left(a+b+c+d\right)=4\)
\(\Leftrightarrow A+4\ge4\Rightarrow A\ge0\)có GTNN là 0
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Đề thiếu điều kiện: a;b;c;d>0
Bạn cộng 1 vào mỗi phấn số rồi dùng
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với a;b>0
P = (a - d)/(d + b) + (d - b)/(b + c) + (b - c)/(c + a) + (c - a)/(a + d)
Nên: P + 4 = (a + b)/(d + b) + (d + c)/(b + c) + (b + a)/(c + a) + (c + d)/(a + d)
<=> P + 4 = (a + b).[ 1/(d + b) + 1/(c + a) ] + (d + c).[ 1/(b + c) + 1/(a + d) ]
Áp dụng BĐT quen thuộc: 1/x + 1/y >= 4/(x + y) thì:
1/(d + b) + 1/(c + a) >= 4/(a + b + c + d)
<=> (a + b).[ 1/(d + b) + 1/(c + a) ] >= 4(a + b)/(a + b + c + d) --- (*)
1/(b + c) + 1/(a + d) >= 4/(a + b + c + d)
<=> (d + c).[ 1/(b + c) + 1/(a + d) ] >= 4(d + c)/(a + b + c + d) --- (**)
Do đó, Cộng vế (*) và (**) thì:
P + 4 >= 4.(a + b + c + d)/(a + b + c + d) = 4
<=> P >= 0 --- (Đpcm)
