Question

Tìm Min và Max của \(A=\frac{1+x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}\)( với x lớn hơn hoặc = 0 )

 

Answer 1

- Đặt \(u=\sqrt{x}\). Khi đó :

+) \(u\ge0\)

+) \(A=\frac{1+u^2}{\left(1+u\right)^2}\)

Ta có : \(2\left(1+u^2\right)\ge\left(1+u\right)^2\Leftrightarrow2+2u^2\ge1+u^2+2u\Leftrightarrow1-2u+u^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-u\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)

Khi u = 1 thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy min \(A=\frac{1}{2}\)

- Đặt v = 1+ u . Khi đó :

+) v > 1

+) \(A=\frac{1+\left(v-1\right)^2}{v^2}=\frac{v^2-2u+2}{v^2}=1-\frac{2}{v}+\frac{2}{v^2}\)

         \(=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)^2-\left(\frac{1}{v}\right)\right]+1=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)-\frac{1}{2}\right]^2+\frac{1}{2}\)

- Vì \(v\ge1\)\(\frac{1}{v}\le1\Rightarrow-\frac{1}{2}\le\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a\le\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\le2\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|^2+\frac{1}{2}\le1\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le1\)

Ta thấy :

+) khi v = 2 ( tức là khi x = 1 ) thì \(A=\frac{1}{2}\)

+) khi v = 1 ( tức là khi x = 0 ) thì A  = 1

Vậy maxA = 1 và min\(A=\frac{1}{2}\)

Answer 2

\(A=\frac{x+1}{x+1+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 

=> Max A = 1 <=> x = 0 

Answer 3

A=\(\frac{1+x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1+x}{1+x+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{1+x+2\sqrt{x}}\)

vì \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow2\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1+2\sqrt{x}}\le1\)

vậy A đạt max khi và chỉ khi x=0