Question

Tìm max Q= \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)với a,b,c >0 và a+b+c=1

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{a+1}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{b}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}\right);\frac{c}{c+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{1}{4}\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Answer 2

Bn áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào Q rồi bn tính được lần lượt các số a,b,c

=>ta tính được Q