Question

tìm m để hệ phương trình x+y=5;2x-3y=5m-10 có nghiệm (x,y) thoả mãn 2x^2-y^2 đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Ta có: \(\begin{cases}x+y=5\\ 2x-3y=5m-10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+2y=10\\ 2x-3y=5m-10\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x+2y-2x+3y=10-5m+10=-5m+20\\ x+y=5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}5y=-5m+20\\ x=5-y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-m+4\\ x=5-\left(-m+4\right)=5+m-4=m+1\end{cases}\)

\(2x^2-y^2\)

\(=2\left(m+1\right)^2-\left(-m+4\right)^2\)

\(=2\left(m^2+2m+1\right)-\left(m^2-8m+16\right)\)

\(=2m^2+4m+2-m^2+8m-16=m^2+12m-14\)

\(=m^2+12m+36-50=\left(m+6\right)^2-50\ge-50\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+6=0

=>m=-6