Áp dụng bđt cô si với 2 số dương 4x và 1/4x ta có: 4x+1/4x ≥ 2(1)
Đặt (4√x +3)/ (x+1) =B ; √x =t => x=t^2
ta có : B(t^2 +1) = 4t+3
<=>Bt^2 -4t+B-3=0
Xét delta =b^2 -4ac = 16-4B(B-3)= -4B^2 +12B+16 ≥ 0(*) (Để phương trình có gtnn thì pt phải có nghiệm nên delta ≥ 0)
Từ (*) => B^2 -3B-4 ≤ 0
<=> (B-4)(B+1) ≤ 0
=> -1 ≤ B ≤ 4
=>-B ≥ -4(2)
TỪ (1) và (2) => A ≥ 2+(-4)+2016=2014
Dấu = xảy ra <=> 4x=1/4x và B=4 (tự giải tìm x , ta sẽ được x = 1/4)
Xét \(B=\frac{x+1}{4\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow16B=\frac{16x+16}{4\sqrt{x}+3}.\)\(=\frac{\left(4\sqrt{x}+3\right)\left(4\sqrt{x}-3\right)+25}{4\sqrt{x}+3}\)
\(=4\sqrt{x}-3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}=4\sqrt{x}+3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}-6\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(16B\ge2\sqrt{25}-6=4\Leftrightarrow B\ge\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\ge-4\)
Áp dụng bđt Cauchy
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{4x.1}{4x}}-4+2016=2014\)
Vậy Min A=2014 khi x=1/4
