Question

Tìm gtnn của C= \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}\)

Answer 1

Mình nghĩ đề bài đúng ra là phải tìm giá trị lớn nhất. Mình làm cả hai nhé ^^

Ta có : \(C=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{\sqrt{\left(x-1\right).1}}{x}+\frac{\sqrt{\left(y-2\right).2}}{\sqrt{2}y}\)

Tói đây áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta được : \(\frac{\sqrt{\left(x-1\right).1}}{x}\le\frac{x-1+1}{2x}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{\sqrt{\left(y-2\right).2}}{\sqrt{2}y}\le\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}y}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow C\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)

Vậy Max C = \(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Ta phải có điều kiện : \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\end{cases}}\)

Thay điều kiện vào C , ta được Min C = 0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)