Question

Tìm GTNN của \(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\) với x,y,z là các số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt2\)

Answer 1

\(A=\sum\left[\left(x+y\right)\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{z^2}}\right]=\sum\left[\left(x+y\right)\sqrt{1+\frac{x+y}{z}+\frac{xy}{z^2}}\right]\ge_{AM-GM}\sum\left[\left(x+y\right)\sqrt{1+\frac{2\sqrt{xy}}{z}+\frac{xy}{z^2}}\right]=\sum\left[\left(x+y\right)\left(1+\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)\right]=2\left(x+y+z\right)+\sum\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge_{AM-GM}2\left(x+y+z\right)+\sum\frac{2xy}{z}\ge2\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2}\).