Lời giải:
$M=\frac{x+1}{x^2+x+1}$
$\Leftrightarrow M(x^2+x+1)=x+1$
$\Leftrightarrow Mx^2+x(M-1)+(M-1)=0(*)$
Vì $M$ tồn tại PT $(*)$ luôn có nghiệm.
$\Leftrightarrow \Delta=(M-1)^2-4M(M-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (M-1)(M-1-4M)\geq 0$
$\Leftrightarrow (M-1)(-1-3M)\geq 0$
$\Leftrightarrow (M-1)(3M+1)\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{3}\leq M\leq 1$
Vậy $M_{\min}=\frac{-1}{3}; M_{\max}=1$