Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1-xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn \(x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}\)

Answer 1

Xét 2 trường hợp:

TH₁  : Nếu x,y trái dấu \(\Rightarrow xy< 0\Rightarrow P=1-xy>1\)

TH₂: Nếu x,y cùng dấu \(\Rightarrow\)xy\(\ge0\)  \(\Rightarrow\)có 2 trường hợp xảy ra:

* Nếu xy=0\(\Rightarrow P=1-xy=1\)

* Nếu xy\(\ne0\Rightarrow\) \(xy>0\) 

Áp dụng bđt Cô-si : \(2x^{1006}y^{1006}=x^{2013}+y^{2013}\ge2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\Rightarrow xy\le1\)

\(\Rightarrow-xy\ge-1\) \(\Rightarrow P=1-xy\ge1-1=0\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy gtnn của P=0 \(\Leftrightarrow x=y=1\)