Question

Tìm giá trị lớn nhất của : 

\(f\left(x,y\right)=\left(1-x\right)\sqrt{\left(x-y+1\right)\left(x+y\right)}\) ; \(-x\le y\le x+1\)

Answer 1

Nếu x ≤ 1 thì f(x,y) ≤ 0 => f(x,y) lớn nhất là 0

Khi x = -y v x+1 = y ; x+1

- Mặt khác do : -x ≤ y ≤  x+1 => x+1 ≥ -x <=> x > \(-\frac{1}{2}\)

Vậy nếu \(-\frac{1}{2}\) < x < 1 thì ta có : 

f(x,y) = \(\left(1-x\right)\sqrt{\left(x-y+1\right)\left(x+y\right)}\le\left(1-x\right)\frac{1}{2}\left(x-y+1+x+y\right)\)

f(x,y) = \(\left(1-x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\le\frac{1}{4}\left(1-x+x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{16}\)

Vậy f(x,y) lớn nhất là \(\frac{9}{16}\)khi x=\(\frac{1}{4}\)và y=\(\frac{1}{2}\)