Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\frac{3x^2+6x+11}{x^2+2x+3}\)

Answer 1

Ta có: \(A=\frac{3x^2+6x+11}{x^2+2x+3}=3+\frac{2}{x^2+2x+3}=3+\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\)

Đặt \(B=\frac{2}{\left(x+1\right)^2+2}\),để A đạt giá trị lớn nhất thì B lớn nhất.

Mà B lớn nhất khi \(\left(x+1\right)^2+2\) bé nhất. 

Lại có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+2\ge2\) (1)

Từ (1) suy ra: \(B\le\frac{2}{2}=1\Rightarrow A=3+B\le3+1=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(A_{max}=4\Leftrightarrow x=-1\)