Nếu n có dạng 2k ( k nguyên dương )
Khi đó:
\(M=2k\cdot4^{2k}+3^{2k}=2k\cdot16^k+9^k\)
Ta có:
\(16^k\equiv2^k\left(mod7\right);9^k\equiv2^k\left(mod7\right)\Rightarrow2k\cdot2^k+2^k\equiv M\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow M\equiv2^k\left(2k+1\right)\left(mod7\right)\Rightarrow2k+1⋮7\Rightarrow k\) chia 7 dư 3
\(\Rightarrow k\) có dạng 7q+3
Khi đó n có dạng 14q+6
Nếu n có dạng 2k+1 ( k là số nguyên dương )
Khi đó:
\(M=n\cdot4^n+3^n=\left(2k+1\right)\cdot4^{2k+1}+3^{2k+1}=4\left(2k+1\right)\cdot16^k+3\cdot9^k\)
Tương tự ta có:
\(M\equiv\left(8k+4\right)\cdot2^k+3\cdot2^k\left(mod7\right)\Rightarrow M\equiv2^k\left(8k+7\right)\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow8k+7⋮7\Rightarrow8k⋮7\Rightarrow k⋮7\Rightarrow k\) có dạng 7p
Khi đó:\(n=2k+1=14p+1\)
Vậy......
