+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 84 = 4096 > 1995 => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.82 + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3
Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+g\left(x\right)\text{ với }g\left(x\right)=bx^2+cx+d\)
Ta có:\(0\le G\left(8\right)\le8.8^2+8.8+8=584\)
\(1995=P\left(8\right)=a.8^3+G\left(8\right)\le a.8^3+584\)
\(a.8^3+584\ge1995\Rightarrow a\ge\frac{1995-584}{8^3}\approx2,75\Rightarrow a\ge3\)
Mặt khác nếu a ≥ 4 thì \(P\left(8\right)\ge4.8^3=2048>1995\) => loại => a < 4
a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3
\(P\left(x\right)=3x^3+bx^2+cx+d\)
\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+G\left(8\right)\Rightarrow G\left(8\right)=495\)
Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)
\(\)\(495=G\left(8\right)=b.8^2+c.8+d\le a.8^2+8.8+8\Rightarrow b\ge6,6\Rightarrow b\ge7\)
Nếu b = 8 thì \(G\left(8\right)\ge8.8^2=512>495\) => vô lí => b < 8
Từ 2 điều trên suy ra b = 7.
\(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+cx+d\)
\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+7.8^2+8c+d\Rightarrow8c+d=11\)
Nếu c ≥ 2 thì \(8c+d\ge8.2=16>11\) => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0
+c = 1 thì \(8.1+d=11\Rightarrow d=3\)
Đa thức \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)
Kết luận: \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
Thử lại thấy đúng
