\(1+x+x^2+x^3=1987^y\)
\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)=1987^y\)
Dễ dàng chứng minh được \(1+x,1+x^2\)là 2 sô nguyên tố cùng nhau và 1987 là số nguyên tố nên suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}1+x=1\\1+x^2=1987^y\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}1+x=-1\\1+x^2=-1987^y\end{matrix}\right.\left(l\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
em giải thử :)
+) Xét y = 0 \(\Rightarrow x=0\)
+) Xét \(y\ne0\)
\(\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=1987^y\)
Vì \(1987^y\) khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa thừa số 2
\(\Rightarrow\)Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=1987^q\\x+1=1987^p\end{matrix}\right.\left(q>p;p+q=y\right)\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)=1987^p\left(1987^{q-p}-1\right)\)
Do \(x\left(x-1\right)⋮̸1987^p\)
\(\Rightarrow\)loại
Vậy x = 0, y = 0
