Question

Tìm cặp số dương (x;y) thỏa mãn: \(^{ }\)\(2x^2\)+\(2y^2\)-\(x^2y^2\)-6xy-4x+4y+10=0 sao cho tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

Lời giải:

$2x^2+2y^2-x^2y^2-6xy-4x+4y+10=0$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2-2xy)-x^2y^2-2xy-4(x-y)+10=0$

$\Leftrightarrow 2(x-y)^2-4(x-y)+2-(x^2y^2+2xy+1)+9=0$

$\Leftrightarrow 2(x-y-1)^2+9=(xy+1)^2$
Với $x,y>0$ ta có:

$(xy+1)^2=2(x-y-1)^2+9\geq 9$

$\Leftrightarrow xy+1\geq 3$

$\Leftrightarrow xy\geq 2$

Vậy $xy_{\min}=2$

Dấu "=" xảy ra khi $x-y-1=0$. Kết hợp với $xy=2$ suy ra $x=2; y=1$