Question

Tìm các số tự nhiên n sao cho A = n^4 + 6n^3 + 10n^2 + 2n + 6 là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Với $n=0$ thì $A=6$ không là scp (loại) 

$\Rightarrow n\geq 1$

Xét hiệu:

$A-(n^2+3n)^2=(n^4+6n^3+10n^2+2n+6)-(n^2+3n)^2=n^2+2n+6>0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A> (n^2+3n)^2(1)$

Lại có:
$A-(n^2+3n+2)^2=2-3n^2-10n<0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A< (n^2+3n+2)^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow (n^2+3n)^2< A< (n^2+3n+2)^2$

Do đó để $A$ là scp thì $A=(n^2+3n+1)^2$

$\Leftrightarrow n^4+6n^3+10n^2+2n+6=(n^2+3n+1)^2$

$\Leftrightarrow n^2+4n-5=0$

$\Leftrightarrow (n-1)(n+5)=0$

$\Leftrihgtarrow n=1$ hoặc $n=-5$

Vì $n$ là stn nên $n=1$