Question

Tìm các số nguyện tố x y nếu : x ² - 117 =y²

Answer 1

\(x^2-117=y^2\)

\(\Rightarrow x^2-y^2=117\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=117\)

\(117\)là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}x-y=1;x+y=117\\x-y=117;x+y=1\end{cases}}\)

\(x;y\)là các số nguyên tố nên \(x-y< x+y\)

\(\Rightarrow x-y=1;x+y=117\)

Hiệu 2 số là 1 số lẻ thì 1 trong 2 số là chẵn.

Số nguyên tố chẵn là số 2 và cũng là số nguyên tố nhỏ nhất . Mà \(x-y=1\Rightarrow x>y\)

\(\Rightarrow y=2\)

\(\Rightarrow x=3\)

Mà \(x^2-y^2=3^2-2^2=5\ne117\)

Vậy không có \(x;y\)thỏa mãn.

Answer 2

x² - 117 = y²

=> x² = y² + 117

=> x² > 117

=> x > 10

Do x nguyên tố => x lẻ => x² lẻ

=> y² chẵn => y chẵn mà y nguyên tố => y = 2

=> x² = 117 + 2² = 117 + 4 = 121 = 11²

=> x = 11

Vậy x = 11; y = 2