Question

Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=9k^2+18k+10\)

Answer 1

Vế phải chia 3 dư 1 nên vế trái chia 3 dư 1

Mà bình phương của 1 số tự nhiên chia 3 chỉ dư 1 hoặc 0

\(\Rightarrow\) Trong 3 số a;b;c có 2 số chia hết cho 3 và 1 số ko chia hết cho 3

Do vai trò a;b;c như nhau, giả sử b và c chia hết cho 3

\(\Rightarrow b=c=3\) (do b,c nguyên tố)

\(\Rightarrow a^2+18=9k^2+18k+10\)

\(\Leftrightarrow a^2+17=\left(3k+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3k+3\right)^2-a^2=17\)

\(\Leftrightarrow\left(3k+3+a\right)\left(3k+3-a\right)=17\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3k+3+a=17\\3k+3-a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=8\\k=2\end{matrix}\right.\) (ko thỏa mãn do 8 ko phải SNT)

Vậy ko tồn tại a;b;c nguyên tố thỏa mãn yêu cầu