Để A là số chính phương thì :
\(n^2-n+13=k^2\)\(\left(k\inℕ\right)\)
\(\Leftrightarrow4n^2-4n+52=4k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2n\right)^2-2\cdot2n\cdot1+1-4k^2+51=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2-\left(2k\right)^2=-51\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-2k-1\right)\left(2n+2k-1\right)=-51\)
Dễ thấy \(2n-2k-1< 2n+2k-1\)( vì \(k\inℕ\))
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-2k-1=-51\\2n+2k-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k=-25\\n+k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=-12\\k=13\end{cases}}}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-2k-1=-1\\2h+2k-1=51\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k=0\\n+k=26\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=13\\k=13\end{cases}}}}\)
TH3 : \(\hept{\begin{cases}2n-2k-1=-3\\2n+2k-1=17\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k=-1\\n+k=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=4\\k=5\end{cases}}}}\)
TH4 ; \(\hept{\begin{cases}2n-2k-1=-17\\2n+2k-1=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k=-8\\n+k=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=-3\\k=5\end{cases}}}}\)
Vậy....
Đặt \(A=n^2-n+13=k^2\)
\(\Rightarrow4n^2-4n+52=4k^2\)
\(\Rightarrow\left(4n^2-4n+1\right)+51=4k^2\)
\(\Rightarrow\left(2k\right)^2-\left(2n-1\right)^2=51\)
\(\Rightarrow\left(2k-2n+1\right)\left(2k+2n-1\right)=51\)
Bạn xét ước của 51 rồi lập bảng nốt nha!
