Question

Tìm các số nguyên dương m và n, sao cho

2^m - 2ⁿ = 256

Answer 1

Ta có : 2^m - 2ⁿ = 256 

Đặt m = n + k (Vì 2^m > 2ⁿ) (k > 0 ; k \(\inℕ\))

Khi đó 2ⁿ.2^k - 2ⁿ = 256

=> 2ⁿ(2^k - 1) = 256

Vì k> 0 => 2^k > 0 => 2^k - 1 > 0 <=> k > 1

Mà 2^k chẵn với k > 0

=> 2^k - 1 lẻ với k > 1 (1)

Vì 2ⁿ(2^k - 1) chẵn => 2^k - 1 chẵn hoặc 2^k - 1 = 1

mà xét vớ (1) ta chỉ nhận được 2^k - 1 = 1

=> k = 1

=> n = 9

=> m = 10

Vậy n = 9 ; m = 10

Answer 2

\(2^m-2^n=256=2^8\)---> Chia 2 vế cho 2ⁿ

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-1=2^{8-n}\)

\(\Leftrightarrow2^{m-n}-2^{8-n}=1\)

\(\Leftrightarrow2^{8-n}\left(2^{m-8}-1\right)=1\)---> Vì các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 2 không thể bé hơn 1 nên pt chỉ có nghiệm khi:

\(\hept{\begin{cases}2^{8-n}=1\\2^{m-8}-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^{8-n}=2^0\\2^{m-8}=2^1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}8-n=0\\m-8=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}n=8\\m=9\end{cases}}}\)

Answer 3

\(2^m-2^n=256\)  (1)

Từ phương trình, dễ thấy \(m>n\Rightarrow m-n>0\Rightarrow m-n\ge1\)(vì m; n nguyên nên m-n nguyên)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^n\left(2^{m-n}-1\right)=256\)

Bây giờ, nếu \(m-n>1\)thì \(2^{m-n}-1\)là số lẻ nên vế trái chỉ chia hết cho 2 còn vế phải chia hết cho 4. Do đó ta loại trường hợp này

Từ đó, \(m-n=1\Rightarrow2^n=256\Rightarrow n=8\Rightarrow m=9\)

Vậy ...