Question

Tìm các số nguyên a,b thỏa mãn 

\(\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\)

Answer 1

\(\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a-2b\sqrt{5}-3a-3b\sqrt{5}}{a^2-5b^2}=-9-20\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+5b\sqrt{5}}{a^2-5b^2}=9+20\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}\left(100b^2+5b-20a^2\right)=9a^2-a-45b^2\)

Ta nhận thây VT là sô vô tỷ còn VP là sô hữu tỷ.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}100b^2+5b-20a^2=0\\9a^2-a-45b^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}\left(loai\right)}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=9\\b=4\end{cases}\left(nhan\right)}\)