Question

Tìm \(a\) nguyên để \(\dfrac{2a+1}{a^2+3a-1}\) nguyên

Answer 1

Để biểu thức trên nguyên thì 2a+1 chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Mà\(a^2+3a-1\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra \(a^2+3a-1+\left(2a+1\right)=a^2+5a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Do đó \(2a^2+10a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Mà \(a\left(2a+1\right)=2a^2+a\)  chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra \(\left(2a^2+10a\right)-\left(2a^2+a\right)=9a\) chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Do đó 18a cũng  chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Lại có 9(2a+1) = 18a+9 chia hết cho \(a^2+3a-1\)

Suy ra 9 là bội của \(a^2+3a-1\)

Đến đây dễ dàng làm phần còn lại