ta chứng minh 0,99...9 < \(\sqrt{0,999...9}\)< 0,999...9 (hai số đầu có 2005 số 9, số cuối có 2006 số 9). (1)
Khi đó 2005 chữ số thập phân đầu tiên của \(\sqrt{0,999...9}\) là 2005 chữ số 9.
thật vậy, dễ dàng chứng minh BĐT đầu bằng cách bình phương hai vế.
ta chứng minh BĐT thứ 2.
với số dạng 0,999....9 (n chữ số 9) ta có 0,999...9 = \(\frac{1}{10^n}\left(10^n-1\right)\)
do đó BĐT thứ 2 sẽ là \(\frac{1}{10^{2005}}\left(10^{2005}-1\right)< \left(\frac{1}{10^{2006}}\left(10^{2006}-1\right)\right)^2\)
phá ngoặc nhân chéo ta được 102007(102005 - 1) < (102006 - 1)2
hay 104012 - 102007 < 104012 - 2. 102006 + 1
hay 8. 102006 + 1 > 0. vậy BĐT thứ 2 đúng hay (1) đúng.
