1: Giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\).
BĐT cần cm tương đương \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le7\).
Ta có \(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{bc}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\);
\(\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{ab}\ge0\Leftrightarrow1+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\).
Từ đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)\le0\).
Dễ thấy \(a\le2\le2c;2a\ge2\ge c\) nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn a = 2; b = c = 1.
Xét các trường hợp:
+) x = 0: Khi đó \(y^2=2^0+3=4\Rightarrow y=2\).
+) x = 1: Khi đó \(y^2=2^1+3=5\), vô lí
+) x > 1: Khi đó \(2^x⋮4\Rightarrow y^2=2^x+3\equiv3\left(mod4\right)\), vô lí vì số chính phương khi chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Vậy x = 0; y = 2.
5:
\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x+2y\right)^2}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{3y^2}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(y-x\right)\left(2x+y\right)}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+5y\right)}{3y^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\dfrac{\left(x+5y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-6y^2\left(2x+y\right)}{3y^2\left(x^2+xy+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(x^2+7xy+7y^2\right)}{3y^2\left(x^2+xy+y^2\right)}\ge0\). (luôn đúng)
4: Áp dụng bđt AM - GM và Cauchy - Schwarz ta có:
\(a^3\sqrt[3]{\left(\dfrac{bc}{b^2-bc+c^2}\right)^2}+b^3\sqrt[3]{\left(\dfrac{ca}{c^2-ca+a^2}\right)^2}+c^3\sqrt[3]{\left(\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^3bc}{\sqrt[3]{bc\left(b^2-bc+c^2\right)^2}}+\dfrac{b^3ca}{\sqrt[3]{ca\left(c^2-ca+a^2\right)^2}}+\dfrac{c^3ab}{\sqrt[3]{ab\left(a^2-ab+b^2\right)^2}}\)
\(\ge\dfrac{3a^2}{2\left(b^2+c^2\right)-bc}+\dfrac{3b^2}{2\left(c^2+a^2\right)-ca}+\dfrac{3c^2}{2\left(a^2+b^2\right)-ab}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-a^2bc-b^2ca-c^2ab}\).
Ta chứng minh \(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-a^2bc-b^2ca-c^2ab}\ge3\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ca+c^2ab\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^2\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^2\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\). (đúng theo Schur bậc 4)
Vậy ta có đpcm.
comment đầu nha bạn ơi phải nhớ đăng dễ thui
à em nhầm đề câu cuối
đặt \(\dfrac{x}{y}=a>0\)
\(\dfrac{2\left(a+2\right)^2}{a^2+a+1}+\dfrac{\left(a+2\right)^2}{3}-9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2+7a+1\right)}{3\left(a^2+a+1\right)}\ge0\) (đúng)
Quốc Anh ơi anh tưởng từ 7/8 chứ vậy cái này đã có thưởng rồi...Vậy có nên chỉnh sửa thời gian từ post trước không em?
