[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Xem thêm tại: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
*Trả lời đúng và hay sẽ được nhận 1-2GP/câu trả lời nha ^^
-----------------------------------------------------------
[Toán.C500 _ 22.3.2021]
[Toán.C501 _ 22.3.2021]
Cho x,y,z đôi một khác nhau không âm. Chứng minh rằng
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}\ge\dfrac{4}{xy+yz+zx}\)
[Toán.C502 _ 22.3.2021]
Cho x,y,z không âm thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm GTNN của \(\dfrac{y-2}{x^2}+\dfrac{z-2}{y^2}+\dfrac{x-2}{z^2}\).
C501:
Không mất tính tổng quát giả sử \(x< y< z\).
Đặt y = x + a; z = x + a + b với a, b > 0.
BĐT \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{x\left(x+a\right)+\left(x+a\right)\left(x+a+b\right)+\left(x+a+b\right)x}\).
Dễ thấy \(\dfrac{4}{x\left(x+a\right)+\left(x+a\right)\left(x+a+b\right)+\left(x+a+b\right)x}\le\dfrac{4}{a\left(a+b\right)}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{a\left(a+b\right)}\Leftrightarrow\dfrac{b^2\left(a+b\right)^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2-4ab^2\left(a+b\right)}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+b^2\right)^2+\left(ab+a^2\right)^2+a^2b^2-4a^2b^2-4ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab^3+b^4+a^2b^2+2a^3b+a^4-3a^2b^2-4ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3b-2ab^3+a^4+b^4-a^2b^2\ge0\)
\(\left(a^2+ab-b^2\right)\ge0\) (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0;y=\sqrt{2\left(\sqrt{5}-1\right)};z=\sqrt{2\left(\sqrt{5}+1\right)}\) và các hoán vị.
.
_
