[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Xem thêm tại: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook, đừng quên đóng góp 1 like cho trang nha!
*1 câu trả lời hay sẽ được tặng 1-2GP/câu trả lời. Hãy thử sức với những bài sau nhé!
-----------------------------------------------------------
[Toán.C670-674 _ 2.4.2021]
[Toán.C675-679 _ 2.4.2021]
Câu 1:
PT \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(S=\left\{2;3\right\}\)
Câu 2:
a) HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=10\\3x+4y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=\dfrac{5-x}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-5;5\right)\)
b) HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=10\\y=2x-7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;-3\right)\)
Câu 5:
Đặt \(P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
\(2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Có $\dfrac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}=\dfrac{1}{9}.\dfrac{9a^2}{a^2+b^2+c^2+2a(2a+bc)}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz có:
$\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4a^2}{2a(2a+bc)} \geq \dfrac{9a^2}{a^2+b^2+c^2+2a(2a+bc)}$
Nên $\dfrac{a^2}{5a^2+(b+c)^2} \leq \dfrac{1}{9}.(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2a}{2a+bc})$
Tương tự $\dfrac{b^2}{5b^2+(a+c)^2} \leq \dfrac{1}{9}.(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2b}{2b+ac})$
$\dfrac{c^2}{5c^2+(a+b)^2} \leq \dfrac{1}{9}.(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2c}{2c+ab})$
Nên $\dfrac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+(a+c)^2} +\dfrac{c^2}{5c^2+(a+b)^2} \leq \dfrac{1}{9}.(1+3-(\dfrac{bc}{2a+bc}+\dfrac{ca}{2b+ac}+\dfrac{ab}{2c+ab}))$
Áp dụng Cauchy Schwarz có:
$\dfrac{bc}{2a+bc}+\dfrac{ca}{2b+ac}+\dfrac{ab}{2c+ab} \geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}=\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$
Nên $\dfrac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+(a+c)^2} +\dfrac{c^2}{5c^2+(a+b)^2} \leq \dfrac{1}{9}.(1+3-1)=\dfrac{1}{3}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$
.
_
