\(HA=2HD;HA+HD=AD\Rightarrow HD=\dfrac{1}{3}AD\)
Theo tỉ số lượng giác trong 2 tam giác vuông ABD, ACD ta có:
\(tan\widehat{B}=\dfrac{AD}{BD};tan\widehat{C}=\dfrac{AD}{CD}\Rightarrow tan\widehat{B}.tan\widehat{C}=\dfrac{AD^2}{BD.CD}\left(1\right)\)
*BH cắt AC tại E.
Do H là trực tâm của △ABC \(\Rightarrow\)BH⊥AC tại E.
\(\widehat{HBD}=90^0-\widehat{BHD}=90^0-\widehat{AHE}=\widehat{CAD}\)
△HBD và △CAD có: \(\widehat{HDB}=\widehat{CDA}=90^0;\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\)
\(\Rightarrow\)△HBD=△CAD (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{HD}{CD}\Rightarrow BD.CD=HD.AD\left(2\right)\)
Từ (1), (2) suy ra: \(tan\widehat{B}.tan\widehat{C}=\dfrac{AD^2}{HD.AD}=\dfrac{AD}{HD}=3\left(đpcm\right)\)
