Tam giác ABC vuông góc với góc A < 90 độ, kẻ AH vuông góc với BC tại H, xác định các điểm M và N sao cho AB là đường trung trực của MH; AC là đường trung trực của NH. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của MN với AB và AC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác EMH và tam giác FNH là tam giác cân
b) AH là đường phân giác của góc EHP.
Sửa đề: tam giác ABC nhọn
a: Ta có: E nằm trên đường trung trực của MH
=>EM=EH
=>ΔEMH cân tại E
Ta có: F nằm trên đường trung trực của HN
=>FN=FH
=>ΔFNH cân tại F
b: Ta có: AB là đường trung trực của HM
=>AB\(\perp\)HM và AM=AH
ΔAMH cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc MAH
Xét ΔAEM và ΔAEH có
AE chung
\(\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\)
AM=AH
Do đó: ΔAME=ΔAHE
=>\(\widehat{AHE}=\widehat{AME}=\widehat{AMN}\left(1\right)\)
Ta có: AC là đường trung trực của HN
=>AN=HA
=>ΔANH cân tại A
Ta có: ΔANH cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc HAN
Xét ΔAHF và ΔANF có
AH=AN
\(\widehat{HAF}=\widehat{NAF}\)
AF chung
Do đó: ΔAHF=ΔANF
=>\(\widehat{AHF}=\widehat{ANF}=\widehat{ANM}\left(2\right)\)
Ta có: AH=AM
AH=AN
Do đó: AM=AN
=>ΔAMN cân tại A
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{AHE}=\widehat{AHF}\)
=>HA là phân giác của góc EHF
