Question

Ta biết số chính phương là bình phương của một số.

Hãy tìm các chữ số a,b, ta có :

    ab + ba

là một số chính phương.

Answer 1

Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)

Để ab + ba là số chính phương

=> 11(a + b) là số chính phương

=> (a + b)\(⋮\)11^{2k + 1} (k là số tự nhiên) (1)

Vì 2 < a + b < 18 (Vì 0 < a ; b < 10) (2)

Từ (1)(2) => a + b = 11

Lại có 11 = 5 + 6 = 7 + 4 + 8 + 3 = 9 + 2

=> Các cặp (a ; b) thỏa mãn là (5;6) ; (6;5) ; (7;4) ; (4;7) ; (8;3) ; (3;8) ; (9 ; 2) ; (2;9)

Answer 2

Ta có: \(\overline{ab}+\overline{ba}=a.10+b+b.10+a=11\left(a+b\right)\)

Vì a; b là số tự nhiên có 1 1 chữ số => 0 < a + b < 20 

Để \(\overline{ab}+\overline{ba}=11\left(a+b\right)\)là số chính phương 

<=> a + b = 11.k với k là số chính phương 

=> 0 < 11k < 20 ; k là số chính phương 

=> k = 1 => a + b = 11

Không mất tính tổng quát: g/s: a < b 

+) Với a = 1 => b = 10 loại 

+) Với a = 2 => b = 9 

+) Với a = 3 => b = 8 

+) Với a = 4 => b = 7 

+) Với a = 5 => b = 6 

Vây  a = 2; b = 9 hoặc a = 3; b = 8 hoặc a = 4; b = 7 hoặc a = 5; b = 6 hoặc các hoán vị